A. Koordinat Kartesius dan Vektor dan Ruang Dimensi Tiga






Untuk menentukan letak suatu titik dalam ruang dimensi tiga diperlukan patokan mula. Salah satu patokan mula yang diambil adalah tiga garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus, yang biasanya diberi nama dengan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Sistem ini dinamakan sistem koordinat Kartesius dalam ruang dimensi tiga.


Tiap dua sumbu menentukan sebuah bidan yang dinamakan bidang koordinat. Tiga bidang koordinat, yaitu xy, xz, dan yz membagi ruang menjadi 8 ruang bagian yang masing masing disebut oktan.
Oktan oktan V, VI, VII, dan VIII berturut turut tepat di bawah oktan oktan I, II, III, IV (lihat gambar)




Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik itu ke bidang bidang koordinat yz, xz, dan xy dan arah positif dan negatif. Ole karena itu suatu titik tertentu oleh pasangan (tripel) tiga bilangan, misalnya titik P(x,y,z). Pasangan pertama, yaitu x disebut koordinat x atau absis. Pasangan kedua, yaitu y disebut koordinat y atau ordinat dan pasangan ketiga disebut koordinat z atau aplikat. Pada gambar gambar berikut berturut turur contoh letak P(2,3,4) 




Contoh:
      1.      x + 2y + z = 4


      2.      x + 2z = 6


      3.      x + 3y = 9



"titik potong bidang xy=tak hingga, karena bidang berimpit dengan sumbu x dan y"
perpotongan bidang, menghasilkan garis.

Vektor 

contonya:
x+2y+z=4
dengan vektornya terletak pada bidang, seperti gambar berikut




Semua sifat penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar yang berlaku dalam bidang datar (ruang dimensi dua) berlaku pula untuk vektor dalam ruang dimensi tiga.


B. Persamaan Bidang Datar


Persamaan linear Ax + By + Cz = D, grafiknya berupa bidang datar, jika A, B, dan C adalah bilangan bilangan real yang tidak bersama sama nol.
Persamaan bidang yang letak/posisinya istimewa.
Ax = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan bidang yz, asal A tidak sama dengan 0
By = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan bidang xz, asal B tidak sama dengan 0
Cz = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan bidang xy, asal C tidak sama dengan 0
x = 0, y = 0, dan z = 0 berturut turut adalah persamaan persamaan bidang yz, bidang xz, dan bidang xy.
Ax + By + Cz = 0 adalah persamaan bidang yang melalui titik asal O.
Ax + By = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan sumbu z
By + Cz = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan sumbu x
Ax + Cz = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan sumbu y

C. Tugas

Apakah terdapat titik potong pada persamaan berikut:





Penyelesaian:

Bidang P(1,2,3) Tegak Lurus dengan vektor n = <3,2,1>
Penyelesaian:
untuk

Titik potong terhadap sumbu x, maka z = 0
x = 6
sehingga (6,0,0)
Titik potong terhadap sumbu z, maka x = 0
z = 3
sehingga (0,0,3)



untuk


Titik potong terhadap sumbu x, maka y = z = 0
x = 4
sehingga (4,0,0)
Titik potong terhadap sumbu y, maka x = z = 0
y = -2
sehingga (0,-2,0)
Titik potong terhadap sumbu z, maka x = y = 0
z = 2
sehingga (0,0,2)



Dari persamaan bidang (1,2,3) tegak lurus vektor n = <3,2,1> didapatlah persamaannya:


Titik potong terhadap sumbu x, maka y = z = 0
x = 3,3
sehingga (3,3;0;0)
Titik potong terhadap sumbu y, maka x = z = 0
y = 5
sehingga (0,5,0)
Titik potong terhadap sumbu z, maka x = y = 0
z = 10
sehingga (0,0,10)


dari penyelesaian di atas, terbentuklah tiga bidang, dan tiga bidang tersebut bertemu di suatu titik, maka dapat disimpulkan bahwa tiga bidang yang terbentuk memiliki titik potong.




A. Persamaan Parametrik


Bentuk umum persamaan parametri dari suatu kurva bidang adalah

Jenis kurva bidang ada 4 macam, yaitu:
(1) Kurva tertutup sederhana


(tidak memiliki titik potong, titik pangkal dan titik akhir bertemu disatu titik)


      (2)   Kurva tertutup tidak sederhana

(berpotongan disatu titik, titik pangkal dan titik akhir bertemu disatu titik)


      (3)   Kurva tidak tertutup sederhana   

(tidak berpotongan, titik pangkal dan titik akhir tidak bertemu)

      (4)   Kurva tidak tertutup dan tidak sederhana


(berpotongan di satu atau lebih titik, titik pangkal dan titik akhir tidak bertemu)


Suatu kruva dikatakan tertutup apabila titik ujung pangkalnya berimpit. Sutau kurva dikatakan sederhana, apabila kurva tersebut tidak mempunyai titik potong (dua nilai atau lebih memberikan titik titik yang sama).

Persamaan parametrik suatu kurva dapat dinyatakan ke dalam persamaan Kartesius dengan cara melenyapkan parameternya. Untuk melenyapkan parameternya, kadang menggunakan cara substitusi atau menentukan hubungan dari parameternya.

Setiap persamaan Kartesius dapat dinyatakan sebagai persamaan parameternya dan sebaliknya kadang kadang suatu kurva dapat dinyatakan dengan persamaan parameternya yang sederhana, tetapi jika dinyatakan dalam persamaan Kartesius menjadi lebih rumit. Kurva dari suatu persamaan parametrik merupakan kurva berarah.

B. Vektor Pada Bidang


Banyak besaran besaran yang kita jumpai dalam kehidupan sehari hari, misalnya berat, panjang, volume, muatan listrik dan luas. Besaran ini dapat dinyatakan dengan suatu  bilangan. Besaran seperti ini dinamakan skalar. Ada besaran lain seperti kecepatan, gaya, torsi, pergeseran/perpindahan, yang untuk menggambarkannya selain dengan bilangan memerlukan arah. Besaran seperti ini dinamakan vektor. Vektor digambarkan seperti anak panah (ruas garis berarah). Panjang ruas garis menyatakan besarnya vektor dan arah anak panah menyatakan ara vektor. Selanjutnya, vektor didefenisikan sebagai berikut:
Vektor adala himpunan ruas garis berarah yang mempunyai besar dan arah yang sama.

Suatu vektor dapat diberi simbol dengan salah satu anggotanya sebagai wakil. Misalnya pada gambar 1, ruas ruas garis berarah itu mempunyai besar dan arah sama, maka vektor itu dapat dinyatakan dengan simbol


Dalam literatur ada beberapa simbol untuk wakil vektor, antara lain:




Suatu vektor yang titik pangkal tertentu dan vekto vektor lainnya harus mempunyai titik pangkal tertentu itu, maka vektor demikian disebut vektor posisi (vektor letak).


(Gambar 2)


Pada gambar 2, vektor vektor posisi titik titik A, B, C, dan P masing masing terhadap titik O berturur turut adalah


Mencari suatu posisi vektor:



Misalkan pada vektor v, terletak di titik A(1,1) dan B(2,3) maka untuk mencari posisi vektor sebenarnya adalah dengan cara:


Jadi,



Dan untuk mencari nilai vektornya:

Maka, nilai vektornya



I. Penjumlahan Vektor
Terdapat 2 cara dalam penjumlahan vektor pada bidang, yaitu:
      (a)    Cara segitiga
Untuk memperoleh jumlah (resultante) dua vektor, misalnya






(b) cara jajaran genjang






 II. Pengurangan Vektor
          (a)    Cara segitiga
Cara ini dilakukan sama dengan penjumlahan, tetapi hanya berbeda arah vektornya, seperti contoh berikut:


         (b)   Cara jajaran genjang
Sama halnya dengan penjumlahan vektor pada bidang.


Teorema:



III. Perkalian Vektor

Perkalian ini dinamakan hasil kali titik atau hasil kali skalar yang dilambangkan dengan

Perkalian ini didefenisikan sebagai berikut:


Teorema: