A. Koordinat Kartesius dan Vektor dan Ruang Dimensi Tiga
Untuk menentukan letak suatu titik dalam ruang
dimensi tiga diperlukan patokan mula. Salah satu patokan mula yang diambil
adalah tiga garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus, yang biasanya
diberi nama dengan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Sistem ini dinamakan sistem
koordinat Kartesius dalam ruang dimensi tiga.
Tiap dua sumbu menentukan sebuah bidan yang
dinamakan bidang koordinat. Tiga bidang koordinat, yaitu xy, xz, dan yz membagi
ruang menjadi 8 ruang bagian yang masing masing disebut oktan.
Oktan oktan V, VI, VII, dan VIII berturut turut
tepat di bawah oktan oktan I, II, III, IV (lihat gambar)
Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik itu ke
bidang bidang koordinat yz, xz, dan xy dan arah positif dan negatif. Ole karena
itu suatu titik tertentu oleh pasangan (tripel) tiga bilangan, misalnya titik
P(x,y,z). Pasangan pertama, yaitu x disebut koordinat x atau absis. Pasangan kedua, yaitu y disebut
koordinat y atau ordinat dan pasangan
ketiga disebut koordinat z atau aplikat.
Pada gambar gambar berikut berturut turur contoh letak P(2,3,4)
Contoh:
1.
x + 2y + z = 4
2.
x + 2z = 6
3.
x + 3y = 9
"titik potong bidang xy=tak hingga, karena bidang berimpit dengan sumbu x dan y"
perpotongan bidang, menghasilkan garis.
Vektor
contonya:
x+2y+z=4
dengan vektornya terletak pada bidang, seperti gambar berikut
Semua sifat penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan
skalar yang berlaku dalam bidang datar (ruang dimensi dua) berlaku pula untuk
vektor dalam ruang dimensi tiga.
B. Persamaan Bidang Datar
Persamaan linear Ax + By + Cz = D, grafiknya berupa bidang
datar, jika A, B, dan C adalah bilangan bilangan real yang tidak bersama sama
nol.
Persamaan bidang yang letak/posisinya istimewa.
Ax = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan bidang yz,
asal A tidak sama dengan 0
By = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan bidang xz,
asal B tidak sama dengan 0
Cz = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan bidang xy,
asal C tidak sama dengan 0
x = 0, y = 0, dan z = 0 berturut turut adalah persamaan
persamaan bidang yz, bidang xz, dan bidang xy.
Ax + By + Cz = 0 adalah persamaan bidang yang melalui titik asal
O.
Ax + By = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan sumbu z
By + Cz = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan sumbu x
Ax + Cz = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan sumbu y
C. Tugas
Apakah terdapat titik
potong pada persamaan berikut:
Penyelesaian:
Bidang P(1,2,3) Tegak
Lurus dengan vektor n = <3,2,1>
Penyelesaian:
untuk
Titik potong terhadap
sumbu x, maka z = 0
x = 6
sehingga (6,0,0)
Titik potong terhadap
sumbu z, maka x = 0
z = 3
sehingga (0,0,3)
untuk
Titik potong terhadap
sumbu x, maka y = z = 0
x = 4
sehingga (4,0,0)
Titik potong terhadap
sumbu y, maka x = z = 0
y = -2
sehingga (0,-2,0)
Titik potong terhadap
sumbu z, maka x = y = 0
z = 2
sehingga (0,0,2)
Dari persamaan bidang
(1,2,3) tegak lurus vektor n = <3,2,1> didapatlah persamaannya:
Titik potong terhadap
sumbu x, maka y = z = 0
x = 3,3
sehingga (3,3;0;0)
Titik potong terhadap
sumbu y, maka x = z = 0
y = 5
sehingga (0,5,0)
Titik potong terhadap
sumbu z, maka x = y = 0
z = 10
sehingga (0,0,10)
dari penyelesaian di
atas, terbentuklah tiga bidang, dan tiga bidang tersebut bertemu di suatu
titik, maka dapat disimpulkan bahwa tiga bidang yang terbentuk memiliki titik
potong.
