A. KOORDINAT CARTESIUS
Untuk menentukan posisi suatu titik pada suatu bidang datar diperlukan suatu patokan awal. Patokan awal ini dapat diambil dua garis lurus yang saling tegak lurus (gambar 1.1). Setiap titik pada bidang datar tertentu oleh jarak titik itu terhadap garis-garis tadi dan arahnya. Sistem seperti ini dinamakan sistem koordinat Cartesius tegak lurus.
Penggunaan sistem ini akan mempermudah dan menyederhanakan permasalahan/konsep - konsep dalam aljabar dan geometri.
B. TITIK
Untuk menentukan posisi suatu titik pada suatu bidang datar diperlukan suatu patokan awal. Patokan awal ini dapat diambil dua garis lurus yang saling tegak lurus (gambar 1.1). Setiap titik pada bidang datar tertentu oleh jarak titik itu terhadap garis-garis tadi dan arahnya. Sistem seperti ini dinamakan sistem koordinat Cartesius tegak lurus.
gambar 1.1
Penggunaan sistem ini akan mempermudah dan menyederhanakan permasalahan/konsep - konsep dalam aljabar dan geometri.
B. TITIK
Titik adalah suatu objek yang mempunyai kedudukan seperti pada (gambar 1.2). Titik tidak mempunyai ukuran panjang dan tinggi. Dan titik biasanya dilambangkan dengan huruf kapital, seperti titik A, B, C, dan lain-lain.
gambar 1.2
Konsep titik diperkenalkan dalam geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang. Euclid mendefinisikan titik dalam buku I - Element yaitu “a point is that which has no part”. Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap, sedangkan geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak seperti yang terjadi di alam. Misalnya sebuah bola yang menggelinding pada permukaan bidang miring dapat dinyatakan sebagai sebuah titik yang bergerak sehingga titik tersebut mengalami perpindahan tempat. Posisi bola saat di bagian atas tidak sama dengan posisi bola saat berada di pertengahan bidang. Proses menelaah sifat titik-titik di berbagai posisi tersebut maka dibutuhkan bantuan aljabar untuk menyatakan posisi titik dalam suatu simbol tertentu.
Metode yang digunakan untuk menunjukkan posisi sebuah titik pada sebuah bidang mirip seperti teknik menggambar peta. Posisi suatu tempat pada permukaan bumi dinyatakan oleh koordinat peta yaitu derajat lintang (arah utara atau selatan) dan derajat bujur (arah timur atau barat). Posisi acuan untuk koordinat bujur-lintang tersebut yaitu Kota Greenwich di Inggris.
Geometri analitik menyederhanakan koordinat peta tersebut dengan menggunakan dua garis lurus berpotongan untuk menggantikan kurva meridian dan kurva ekuator. Titik potong kedua garis dijadikan sebagai titik acuan biasanya dinyatakan sebagai titik O.
Titik-titik pada sebuah bidang yang membentuk himpunan titik dan memenuhi suatu kriteria tertentu dinamakan kedudukan titik (locus of points). Kedudukan titik dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi. Misalnya titik-titik pada lingkaran berjari-jari 1 cm dapat dinyatakan sebagai x^2 + y^2 = 1. Secara geometris, hanya titik-titik berjarak 1 cm dari titik pusat lingkaran tersebut yang memenuhi kedudukan titik yang dinyatakan oleh persamaan x^2 + y^2 = 1. Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems) sebagai berikut.
Teorema Titik
Teorema 1. Kedudukan titik yang membentuk lingkaran
Ada satu titik dan ada titik - titik lain yang berjarak sama dengan titik tersebut.
Teorema 2. Ada satu garis dan titik - titik lainnya yang berjarak sama dengan garis tersebut. Maka titik - titik itu akan membentuk garis sejajar dengan garis awal yang terbentuk.
kemungkinan titik - titik yang berjarak sama dengan garis terletak di atas dan bawah garis, tidak ada di kiri atau kanan garis karena garis adalah suatu objek yang tak terbatas panjangnya.
Teorema 3. Ada dua titik, dan ada titik - titik yang jaraknya sama antara titik A dan titik B. Maka titik - titik itu akan membentuk tegak lurus dan membagi dua garis sama panjang.
Pembuktian :
p ⇔ q
maka : p ⇒ q dan q ⇒ p
p : kedudukan titik - titik pada suatu garis berjarak sama dari P dan Q
q : ruas garis tegak lurus garis PQ dan membagi ruas PQ menjadi 2 bagian sama panjang
Tahap I :
Diketahui : ada dua titik P dan Q
misal ruas garis AB ⊥ ruas garis PQ, maka ruas garis AB menjadi ruas garis PQ.
Ditanya : misal sembarang titik di ruas garis AB adalah C
apakah C berjarak sama ke ruas garis PQ yaitu ruas garis CP = ruas garis PQ
Teorema 4. Kedudukan titik - titik yang berjarak sama dari 2 garis sejajar
akan membentuk garis yang berada tepat di antara dua garis tersebut.
Teorema 5. Kedudukan titik - titik yang berjarak sama dari dua buah garis yang berpotongan.
akan membentuk sepasang garis yang berpotongan tegak lurus, dan membagi dua sudut sama besar sudut - sudut yang dibentuk garis tersebut. Bisector (dua wilayah)
Teorema 6. Kedudukan titik - titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sebuah sudut.
membentuk ruas garis yang membagi dua sudut tersebut sama besar. (Bisector Of Angle)
Teorema 7. Kedudukan titik - titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris atau memiliki titik pusat yang sama dan jari - jari berbeda (Concentric Circle).
akan membentuk sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya.
Teorema 8. Kedudukan titik - titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari - jari lebih panjang dari jarak tersebut.
jarak titik - titik = a < r
Teorema 9. Kedudukan titik - titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari - jari kurang dari jarak tersebut.
akan membentuk sebuah lingkaran di luar, yang konsentris terhadap limgkaran awal.
Jarak titik - titik = a > r
