BAB III KURVA BERDERAJAT DUA

Kurva berderajat Dua terbagi atas:





A. LINGKARAN

1. Persamaan Umum



Pada kurva berderajat Dua, terdapat pada (Gambar 3.1.1), sebagai berikut:
1. Garis direktris adalah Garis Arah
2. Esentrisitas adalah orbit suatu benda astronomi adalah jumlah ketika orbitnya melenceng dari lingkaran sempurna, 0 berarti lingkaran sempurna, dan 1,0 adalah parabola, dan tidak lagi berupa orbit tertutup. Namanya berasal dari parameter irisan kerucut, karena setiap orbit Kepler adalah irisan kerucut.
(Gambar 3.1.1)


Untuk Persamaannya:

Perhatikan (Gambar 3.1.2)



(Gambar 3.1.2)








Contoh Soal:


2. Garis Singgung (Tangent) Lingkaran


Perhatikan (Gambar 3.2.1)



(Gambar 3.2.1)

OP = jari – jari
l = garis singgung di P (garis singgung tegak lurus dengan jari – jari)


B. ELLIPS

Ellips memiliki nilai eksentrisitas numerik e < 1Contoh nyata dari ellips adalah Orbit Planet




Untuk keterangan:
       a. 2 titik acuan untuk menggambar ellips adalah P dan Q
       b. F1 dan F2 adalah titik Fokus


Suatu garis lurus dapat memotong ellips, menyinggung atau tidak memotong dan tidak menyinggung ellips. Dalam hal yang terakhir garis dan ellips tidak mempunyai titik persekutuan. Kita akan mencari persamaan garis singgung yang gradiennya m.
Misalkan persamaan garis yang gradiennya m adalah y = mx + p dan persamaan ellips

Absis titik titik potong garis dan ellips diperoleh dari

Garis akan menyinggung ellips jika titik titik potongnya berimpit. Hal ini terjadi apabila persamaan kuadrat di atas mempunyai dua akar yang sama atau apabila diskriminannya sama dengan nol.


Sifat utama garis singgung:
Garis singgung disuatu titik pada ellips membagi dua sama besar sudut antargaris penghubung titik itu dengan titik api yang satu dan perpanjangan garis penghubung titik api tersebut dengan titik api lainnya.



sifat sifat garis kutub:
1. Jika titik Q terletak pada garis kutub p dari titik P maka garis kutub q dari titik Q melalui P.
2. Jika suatu titik P menjalani suatu garis q, maka garis kutub p dari titik P berputar pada titik Q, yaitu kutub dari garis q.





tempat kedudukan titik titik potong garis singgung pada ellips yang saling tegak lurus adalah berupa lingkaran dengan persamaan x2+y2=a2+b2 tingkatan ini disebut lingkaran orthoptis dari Monge.
Tempat kedudukan titik titik potong garis singgung pada ellips dengan garis yang tegak lurus padanya yang ditarik dari titik api adalah berupa lingkaran dengan persamaan x2+y2=a2 lingkaran ini disebut lingkaran titik kaki.

Dalil I dari Apollonius:
Jumlah kuadrat dari dua garis tengah sekawan sama dengan jumlah kuadrat sumbunya.

Dalil II dari Apollonius:
Luas jajaran genjang yang mengelilingi ellips pada garis tengah sekawan sama dengan luas panjang pada sumbunya.

C. HIPERBOLA

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik titik yang selisish jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Hiperbola juga bisa disebut sebagai tempat kedudukan titik titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan garis tertentu tetap besarnya dan perbandingan ini lebih besar dari 1.
Titik tertentu ini adalah titik api dan garis tertentuk ini adalah garis arah yang bersesuaian dengan titik apinya.







Persamaan asimtot asimtot hiperbola adalah

Persamaan garis garis arah hiperbola adalah

Persamaan garis singgung pada hiperbola

a) dengan gradien m




Sifat utama garis singgung:
Garis singgung suatu titik pada hiperbola membagi dua sama besar sudut sudut antara garis garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik titik api.


Dalil I dari Apollonius:
Selisih kuadrat garis garis tegah sekawan suatu hiperbola sama dengan selisih kuadrat sumbu sumbunya.

Dalil II dari Apollonius:
Luas jajaran genjang pada garis garis tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu sumbunya.

D. PARABOLA




Definisi:
Parabola adalah tempat kedudukan titik titik yang bergerak sama dari suatu titik dan suatu garis tertentu.
Titik itu disebut titik api dan garis tertentu itu disebut garis garis arah (direktris)
Persamaan puncak parabola adalah y2=2 px
Titik O(0,0) adalah puncak parabola
P disebut parameter parabola.
Eksentrisitas numerik parabola adalah e = 1


(1) Jika sumbu simetri berimpit dengan sumbu x, titik puncak parabola berimpit dengan titik asal parabolanya terletak pada setengah bidang sebelah kanan, maka persamaan parabolanya



(2) Jika sumbu simetri berimpit dengan sumbu x, titik puncak parabola berimpit dengan titik asal parabolanya terletak pada setengah bidang sebelah kiri, maka persamaan parabolanya



(3) Jika sumbu simetri berimpit dengan sumbu y, titik puncak parabola berimpit dengan titik asal dan parabolanya terletak pada setengah bidang sebelah atas, maka persamaan parabolanya



(4) Jika sumbu simetri berimpit dengan sumbu y, titik puncak parabola berimpit dengan titik asal parabolanya terletak pada setengah bidang sebelah bawah, maka persamaan parabolanya






Sifat utama garis singgung:
a. Garis singgung di suatu titik pada parabola membagi dua sama besar sudut antara garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik api dan garis yang melalui titik singgung sejajar dengan sumbu x.
b. Tempat kedudukan titik titik tengah tali busur pada parabola y2=2px yang sejajar dengan garis yang gradiennya m adalah suatu garis yang sejajar sumbu x dengan persamaan 

c. Tempat kedudukan titik potong garis garis singgung pada parabola y2=2px yang saling tegak lurus dalah suatu garis dengan persamaan 

d. Persamaan ini merupakan persamaan garis arah parabola dan disebut juga garis orthoptis dari Monge.

e. Tempat kedudukan titik titik potong garis garis yang melalui titik api dan tegak lurus garis garis singgung pada parabola adalah garis x=0 atau sumbu y. Garis ini disebut juga garis titik kaki.


Leave a Reply