Kurva berderajat Dua terbagi atas:





A. LINGKARAN

1. Persamaan Umum



Pada kurva berderajat Dua, terdapat pada (Gambar 3.1.1), sebagai berikut:
1. Garis direktris adalah Garis Arah
2. Esentrisitas adalah orbit suatu benda astronomi adalah jumlah ketika orbitnya melenceng dari lingkaran sempurna, 0 berarti lingkaran sempurna, dan 1,0 adalah parabola, dan tidak lagi berupa orbit tertutup. Namanya berasal dari parameter irisan kerucut, karena setiap orbit Kepler adalah irisan kerucut.
(Gambar 3.1.1)


Untuk Persamaannya:

Perhatikan (Gambar 3.1.2)



(Gambar 3.1.2)








Contoh Soal:


2. Garis Singgung (Tangent) Lingkaran


Perhatikan (Gambar 3.2.1)



(Gambar 3.2.1)

OP = jari – jari
l = garis singgung di P (garis singgung tegak lurus dengan jari – jari)


B. ELLIPS

Ellips memiliki nilai eksentrisitas numerik e < 1Contoh nyata dari ellips adalah Orbit Planet




Untuk keterangan:
       a. 2 titik acuan untuk menggambar ellips adalah P dan Q
       b. F1 dan F2 adalah titik Fokus


Suatu garis lurus dapat memotong ellips, menyinggung atau tidak memotong dan tidak menyinggung ellips. Dalam hal yang terakhir garis dan ellips tidak mempunyai titik persekutuan. Kita akan mencari persamaan garis singgung yang gradiennya m.
Misalkan persamaan garis yang gradiennya m adalah y = mx + p dan persamaan ellips

Absis titik titik potong garis dan ellips diperoleh dari

Garis akan menyinggung ellips jika titik titik potongnya berimpit. Hal ini terjadi apabila persamaan kuadrat di atas mempunyai dua akar yang sama atau apabila diskriminannya sama dengan nol.


Sifat utama garis singgung:
Garis singgung disuatu titik pada ellips membagi dua sama besar sudut antargaris penghubung titik itu dengan titik api yang satu dan perpanjangan garis penghubung titik api tersebut dengan titik api lainnya.



sifat sifat garis kutub:
1. Jika titik Q terletak pada garis kutub p dari titik P maka garis kutub q dari titik Q melalui P.
2. Jika suatu titik P menjalani suatu garis q, maka garis kutub p dari titik P berputar pada titik Q, yaitu kutub dari garis q.





tempat kedudukan titik titik potong garis singgung pada ellips yang saling tegak lurus adalah berupa lingkaran dengan persamaan x2+y2=a2+b2 tingkatan ini disebut lingkaran orthoptis dari Monge.
Tempat kedudukan titik titik potong garis singgung pada ellips dengan garis yang tegak lurus padanya yang ditarik dari titik api adalah berupa lingkaran dengan persamaan x2+y2=a2 lingkaran ini disebut lingkaran titik kaki.

Dalil I dari Apollonius:
Jumlah kuadrat dari dua garis tengah sekawan sama dengan jumlah kuadrat sumbunya.

Dalil II dari Apollonius:
Luas jajaran genjang yang mengelilingi ellips pada garis tengah sekawan sama dengan luas panjang pada sumbunya.

C. HIPERBOLA

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik titik yang selisish jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Hiperbola juga bisa disebut sebagai tempat kedudukan titik titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan garis tertentu tetap besarnya dan perbandingan ini lebih besar dari 1.
Titik tertentu ini adalah titik api dan garis tertentuk ini adalah garis arah yang bersesuaian dengan titik apinya.







Persamaan asimtot asimtot hiperbola adalah

Persamaan garis garis arah hiperbola adalah

Persamaan garis singgung pada hiperbola

a) dengan gradien m




Sifat utama garis singgung:
Garis singgung suatu titik pada hiperbola membagi dua sama besar sudut sudut antara garis garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik titik api.


Dalil I dari Apollonius:
Selisih kuadrat garis garis tegah sekawan suatu hiperbola sama dengan selisih kuadrat sumbu sumbunya.

Dalil II dari Apollonius:
Luas jajaran genjang pada garis garis tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu sumbunya.

D. PARABOLA




Definisi:
Parabola adalah tempat kedudukan titik titik yang bergerak sama dari suatu titik dan suatu garis tertentu.
Titik itu disebut titik api dan garis tertentu itu disebut garis garis arah (direktris)
Persamaan puncak parabola adalah y2=2 px
Titik O(0,0) adalah puncak parabola
P disebut parameter parabola.
Eksentrisitas numerik parabola adalah e = 1


(1) Jika sumbu simetri berimpit dengan sumbu x, titik puncak parabola berimpit dengan titik asal parabolanya terletak pada setengah bidang sebelah kanan, maka persamaan parabolanya



(2) Jika sumbu simetri berimpit dengan sumbu x, titik puncak parabola berimpit dengan titik asal parabolanya terletak pada setengah bidang sebelah kiri, maka persamaan parabolanya



(3) Jika sumbu simetri berimpit dengan sumbu y, titik puncak parabola berimpit dengan titik asal dan parabolanya terletak pada setengah bidang sebelah atas, maka persamaan parabolanya



(4) Jika sumbu simetri berimpit dengan sumbu y, titik puncak parabola berimpit dengan titik asal parabolanya terletak pada setengah bidang sebelah bawah, maka persamaan parabolanya






Sifat utama garis singgung:
a. Garis singgung di suatu titik pada parabola membagi dua sama besar sudut antara garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik api dan garis yang melalui titik singgung sejajar dengan sumbu x.
b. Tempat kedudukan titik titik tengah tali busur pada parabola y2=2px yang sejajar dengan garis yang gradiennya m adalah suatu garis yang sejajar sumbu x dengan persamaan 

c. Tempat kedudukan titik potong garis garis singgung pada parabola y2=2px yang saling tegak lurus dalah suatu garis dengan persamaan 

d. Persamaan ini merupakan persamaan garis arah parabola dan disebut juga garis orthoptis dari Monge.

e. Tempat kedudukan titik titik potong garis garis yang melalui titik api dan tegak lurus garis garis singgung pada parabola adalah garis x=0 atau sumbu y. Garis ini disebut juga garis titik kaki.


II.1 GARIS

Kurva berderajat satu merupakan garis, dan garis adalah kurva yang lurus. Dan garis itu juga merupakan titik – titik yang bergerak secara kontinyu (Gambar 2.1.1). Untuk pengetahuan, perbedaannya dengan titik – titik yang bergerak secara diskrit (Gambar 2.1.2).


   Gambar (2.1.1)






Gambar (2.1.2)

Sebuah garis dikatakan sebagai kurva berderajat satu, dinyatakan sebagai berikut:

Ax+By+C=0 untuk A,B, dan C adalah bilangan riil dan x,y variabel bilangan riil.

Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut contohnya melalui titik (2,0) dan (0,1) (Gambar 2.1.3). 

(Gambar 2.1.3)

Di dalam matematika, variabel adalah nilai yang dapat berubah dalam suatu cakupan soal atau himpunan operasi yang diberikan. Sebaliknya, konstanta adalah nilai yang tidak berubah, meskipun seringkali tidak diketahui atau tidak ditentukan. Sehingga dalam sebuah persamaan terdapat peubahnya.

Peubah?
Istilah ‘peubah’ dalam statistika dipinjam dari matematika, suatu ilmu yang jauh lebih tua daripada bidang-bidang ilmu disebutkan dalam teladan tadi. Istilah ini lebih dahulu dan lebih banyak dipinjam untuk dipakai dalam pengertian sebagaimana aslinya daripada bidang ilmu yang kemudian membuat definisi sendiri untuk yang dinamakan mereka sebagai ‘parameter’, padahal yang dimaksud ialah ‘peubah’. 
Perhatikan, misalnya rumus matematika untuk menentukan keliling dan luas lingkaran dengan jejari sebesar R. Demikian juga dengan rumus untuk menentukan volume bola berjejari R. 
Dalam pengertian statistika, laju perkecambahan benih misalnya ialah suatu suatu parameter dari suatu model populasi perkecambahan benih. Yaitu, sebagai suatu fungsi dari frekuensi-frekuensi nisbi kumulatif banyaknya benih berkecambah (Y) pada lama waktu berkecambah (T). Sedangkan Y dan T masing-masing ialah suatu peubah yang digunakan dalam model tadi. Teladan ini analog dengan model-model populasi yang digunakan dalam menduga laju pertumbuhan populasi penduduk. 

Peubah Diskret
Berdasarkan kepekatan nilai-nilainya suatu peubah mungkin tergolong sebagai peubah diskret atau peubah kontinyu. Nilai-nilai mungkin dari suatu peubah diskret terisolasi. Ciri-ciri, atribut-atribut atau respons-respons untuk suatu peubah diskret ada yang merupakan kategori-kategori dan ada juga yang berupa bilangan-bilangan cacah. 
Peubah berkategori dua disebut juga sebagai peubah dikhotom atau binom. Sedangkan yang berkategori lebih daripada dua dinamakan sebagai peubah multinom. Nilai-nilai dari suatu peubah cacah bersifat diskret tetapi bukan merupakan kategori-kategori.  Ada kalanya kategori-kategori untuk suatu peubah diskret tidak cukup dinyatakan dengan nama-nama saja. Tiap kategori perlu didefinisikan dengan baik agar masing-masing bersifat terisolasi, tidak bermakna ganda atau jamak dan tidak tumpang-tindih. 

Peubah Kontinyu
Macam nilai-nilai suatu peubah kontinyu banyaknya takterhingga. Nilai-nilai yang didapat dari hasil pengukuran mengandung unsur ketak-pastian. Karena ada bagian yang diperkirakan atau ditaksir dari suatu rentang atau kontinum bilangan nyata.  Lebar rentang perkiraan tergantung pada derajat atau skala keseksamaan dan kemampuan ukur alat yang digunakan. Misalnya, hasil berupa gabah kering panen dari suatu rumpun padi tentu kurang pantas bilamana diukur dengan alat timbang berskala satuan 1 kg dengan batas kemampuan peruntukan dari 1 sampai dengan 100 kg, seperti biasa digunakan dalam penimbangan bagasi penumpang pesawat udara. Demikian juga halnya jika diukur dengan neraca farmasi seperti digunakan di apotik untuk menimbang sediaan obat.
Andaikan bobot gabah kering ingin ditentukan dalam keseksamaan satu gram terdekat, dan untuk ini misalnya tersedia alat timbang yang tepat. Umpamanya, diperoleh bacaan bobot seberat 37 g. Ini berarti nilai sebenarnya mungkin terletak antara 36.5 dan 37.5 g. Dengan perkataan lain, angka 7 dari bilangan 37 sebenarnya adalah suatu taksiran (Catatan: angka-angka dari bilangan 3 puluhan disebutkan sebagai angka-angka nyata (significant digits). Tetapi jika diukur hingga 0.1 g (dengan suatu alat lain yang sesuai) maka nilai mungkin sebenarnya terletak antara 36.75 dan 37.25 g. 

Peubah Kualitatif dan Peubah Kuantitatif 
Suatu peubah digolongkan sebagai peubah kualitatif jika tidak ada satu pun permutasi dari nilai-nilai mungkinnya yang memberikan suatu susunan yang mengandung makna tertentu. Misalnya yang menunjukkan suatu tatanan peringkat. Sebaliknya, jika suatu peubah memiliki suatu permutasi nilai-nilai bermakna tertentu maka peubah tersebut dinamakan sebagai peubah kuantitatif.
Peubah kontinyu adalah peubah kuantitatif. Tetapi, peubah-peubah diskret ada yang tergolong sebagai peubah kualitatif dan ada juga yang termasuk sebagai peubah kuantitatif.
Contoh : Ax + By + C = 0 peubahnya ada 2 yaitu x dan y.


II.2 PERSAMAAN GARIS

Grafik :


(Gambar 2.2.1)

Sudut yang di tandai di titik pada (Gambar 2.2.1) adalah Sudut Inklinasi, sudut inklinasi adalah sudut yang bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif (angle of inclination).
Hubungan K dan L pada (Gambar 2.2.1) adalah sejajar.





Jadi, nilai gradien suatu garis merupakan nilai tangen sudut inklinasi dan besarnya sudut inklianasi adalah nilai arc. tan dari gradien garis. Bentuk persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari x, dimana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat sebagai berikut:

Sudut inklinasi bernilai sama dengan 0 ketika garis sejajar sumbu pada koordinat Kartesius. Dan nilai gradien (m), sebagai berikut:
1. Garis sejajar sumbu x, m = 0 (Gambar 2.2.2)


(Gambar 2.2.2)


2. Garis sejajar sumbu y, m = tak hingga (Gambar 2.2.3)


 


(Gambar 2.2.3)





II.3 Persamaan Normal Sebuah Garis

Grafik AB = y = mx + C (Gambar 2.3.1):


(Gambar 2.3.1)









Grafik untuk Dua garis yang berpotongan (Gambar 2.3.2)

(Gambar 2.3.2)




Kesimpulan :
1. Hubungan suatu inklinasi dan gradien


2. Sebuah garis mempunyai garis normal
3. Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis biasa dan melalui titik asal (0,0)
4. Garis yang berpotongan membentuk 4 sudut, yaitu 2 sudut berpasangan yang bernilai sama